什么是正交矩阵

正交矩阵是指满足其转置矩阵和本身的矩阵乘积等于单位矩阵的矩阵。

一般地，正交矩阵定义在n阶实数域上，其行向量或列向量组成的矩阵，构成的是以原点为中心的n维欧几里得空间中的一个旋转，再加上一个反射的线性变换。

故正交矩阵具有旋转和反射的特性，因此常被用于计算机图形学的相关算法中，如常用的三维计算机图形中的旋转变换。

正交矩阵的定义：ATA=AAT=E ,满足这个条件的矩阵A是正交矩阵

(1)等式两边取行列式，得到A的行列式值是±1

(2)正交矩阵A的行向量组以及列向量组都是标准正交的向量组

对于正交矩阵，组成它的列向量 构成了一个空间的基，称之为：规范正交基。 而我们知道：对于一个空间而言，我们是可以找到很多个不同的基来表示的(参考相似矩阵的基底变换)

正交矩阵

实数特殊化的酉矩阵

如果AA=E（E为单位矩阵，A表示“矩阵A的转置矩阵”）或AA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。

基本信息

中文名

正交矩阵

外文名

The orthogonal matrix

应用

计算机图形学

定义

如果：=E（E为单位矩阵，表示“矩阵A的转置矩阵”。）或AA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件:

1)是正交矩阵

2)（E为单位矩阵）

3)的各行是单位向量且两两正交

4)的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

7)

正交矩阵通常用字母Q表示。

举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]

则有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1

r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质

定理

1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；

2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4. A的列向量组也是正交单位向量组。

5. 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为 +1，则我们称之为特殊正交矩阵

正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。

行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。

对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直。

所以3x3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，

x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴

单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：

1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴

一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标系。

新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，

新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。

正交矩阵的定义“行向量和列向量皆为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。

下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆：

还是开头说的正交矩阵M：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

每行都是单位长度向量，所以每行点乘自己的结果为1。

任意两行正交就是两行点乘结果为0。

矩阵M的转置矩阵MT是：

x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，

两个矩阵相乘Mmul＝M＊MT：

rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，

点乘自己结果为1，点乘别的行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，

正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆。

扩展资料

正交矩阵定义：

如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是正交矩阵。

判断是正交矩阵的方法：

一般就是用定义来验证，若AA' = I,则A为正交矩阵，也就是验证每一行(或列)向量的模是否为1

任意两行(或列)的内积是否为0。