集合的含义与表示

      集合的含义与表示，集合（简称集）是基本的数学概念，是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体（在最原始的集合论、朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。），集合里的事物，叫作元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

       集合的表示方法通常有三种：

       列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举。

      描述法：{代表元素|满足的性质}设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}

      4、符号法：

      N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

      N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}

      Z：整数集合{…,-1,0,1,…}

       Q：有理数集合

       Q+：正有理数集合

       Q-：负有理数集合

       R：实数集合(包括有理数和无理数）

       R+：正实数集合

       R-：负实数集合

       C：复数集合

       空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）

集合的含义是表示具有共同属性的元素的整体。例如，自然数的集合，某学校学生人数的集合等。它的表示法用大括号把元素放在里面用逗号隔开。还可用列举法和描述法表示。

一、集合的含义

例：

①1~20以内的所有质数（素数）； 有限集

②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；

③全体自然数； 无限集

④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根；

⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.

一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.

通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.

几种特殊的数集

二、集合中元素的特性

如：

① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 否

② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能

③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否

1.确定性：

集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。(具有某种属性)

如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.

2.互异性：

集合中的元素是互异的。即集合元素是没有重复现象的。(互不相同)

如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.

3.无序性：

集合中的元素是不讲顺序的。即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。(不考虑顺序)

如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合

    集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合

集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.

三、元素与集合的关系

高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？

四、集合的表示

(1)自然语言表示法

1~20以内的质数组成的集合

(2)列举法

例如，地球上四大洋组成的集合：

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

例1、用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；

(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.

解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 则

          A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

     (2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B， 则

          B={0,1}

     (3)设所求集合为C， 则

          C={6,12,18}

集合的分类：

有限集，无限集

无限集

(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素的共同特征.

例2 

用描述法和列举法描述下列集合

注意：

有限集通常用列举法来表示

无限集通常用描述法来表示

（4）Venn图示法 

如：“book中的字母” 构成一个集合