什么是复变函数

是指以复数作为自变量和因变量的函数

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数是在复数域上定义的一类函数，它的自变量和因变量都是复数。复变函数与实变函数的主要区别在于复数的平方根可以是正的，也可以是负的，甚至是零，而实数只能是正的或者负的。

复变函数的基本性质包括：

1. 保角性：在一个平面图形上，复变函数的值不会改变该图形的形状。

2. 柯西-黎曼方程：复变函数在整个复数域上的偏导数满足柯西-黎曼方程。

3. 解析：如果一个复变函数在整个复数域上都有定义，那么我们就称这个复变函数是解析的。

4. 全纯函数：如果一个复变函数是解析的，且在某个开区间内是常数函数，那么我们就称这个复变函数是全纯的。

复变函数在工程、物理、数学等多个领域都有广泛的应用，特别是在信号处理、电磁理论、量子力学等领域，复变函数发挥着重要的作用。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[