内积运算公式

内积也被称之为“点积”，是两个向量之间的一种预算法则。

内积是指接受在实数R上的两个向量并返回到一个统一的实数值标量的一种二元算法，它也代表着欧几里面空间的标准内积值。

在物理应用上，内积可以用来计算“功”和“合力”的数值，假设一个b为单位的矢量值，那内积代表着a在方向b上的投影数值，所以就给出了力在这个方向上的分解。

我们可以用这个思路来分解“功”，功是力和位移的内积，如果两个矢量点之间的积大于0，代表他们的方向越近，反之亦然。

内积（inner

product），又称数量积（scalar

product）、点积（dot

product）是一种向量运算，但其结果为某一数值，并非向量。其物理意义是质点在F的作用下产生位移S，力F所做的功，W=|F||S|cosθ。

在数学中，数量积（dot

product;

scalar

product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a

=

[a1,

a2,…,

an]和b

=

[b1,

b2,…,

bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1

矩阵，点积还可以写为：

a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

在数学里面，内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

在生产生活中，内积同样应用广泛。利用内积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的内积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据内积来得到光照效果，如果内积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，内积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则内积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的内积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

线性变换中点积的意义：

根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个基于a·b+c

=

（c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

1） 内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).

2） 外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).

解：a*b=a*b*cos(a和b的夹角) 这是从物理实践中来，在物理计算中，经常会用到一个向量投影到另一个向量的方向，然后再乘以另一个向量的模。而且这样的算法表示固定的物理意义。 由于经常会遇到这种问题，于是有人就这样定义了内积，是为了便于书写和直观辨认。一个式子太长或太复杂就会给计算带来很多的不便，定义了简便的式子有助有从数学上理解物理。

向量内积（点乘） a.b=x1*y1+x2*y2 其中a（x1,x2） b(y1,y2) 结果是标量 一个数值

向量外积（叉乘） a×b=|a|*|b|*sin

结果是一个向量（矢量）