求 超几何分布期望与方差的推导过程

超几何分布是指从有限个物品中，不放回地抽取n个物品，其中有k个具有某种特性的物品的概率分布。它的期望和方差的推导过程如下：

期望的推导：

设超几何分布的随机变量为X，样本总量为N，样本中具有某种特性的物品数为M，则超几何分布的概率质量函数为：

P(X=x) = [C(M,x) * C(N-M,n-x)] / C(N,n)

其中，C(n,m)表示从n个不同物品中取出m个物品的组合数。

超几何分布的期望可以表示为：

E(X) = Σxp(x) (x从0到n)

将概率质量函数代入上式，得到：

E(X) = Σx[C(M,x) * C(N-M,n-x)] / C(N,n)

利用组合数的性质，将上式中的C(M,x)和C(N-M,n-x)展开，得到：

E(X) = [nM/N]

其中，[nM/N]表示nM/N的整数部分。

方差的推导：

超几何分布的方差可以表示为：

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

其中，E(X^2)表示超几何分布的二阶矩，可以表示为：

E(X^2) = Σx^2p(x) (x从0到n)

将概率质量函数代入上式，得到：

E(X^2) = Σx^2[C(M,x) * C(N-M,n-x)] / C(N,n)

同样利用组合数的性质，将上式中的C(M,x)和C(N-M,n-x)展开，得到：

E(X^2) = [nM(N-M)(n-1)] / [N(N-1)]

将E(X)代入方差公式中，得到：

Var(X) = [nM(N-M)(N-n)] / [N(N-1)]

综上所述，超几何分布的期望为nM/N，方差为[nM(N-M)(N-n)] / [N(N-1)]。