抛物线的参数方程的推导公式

您好，抛物线的参数方程可以通过以下推导得到：

假设抛物线的顶点为点(Vx, Vy)，焦点为点(Fx, Fy)，则焦距为 p = |Fx - Vx| = |Fy - Vy|。

设抛物线上任意一点为点(Px, Py)，则点(Px, Py)到焦点的距离为 d = √((Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2)。

根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到顶点的距离，即 d = √((Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2)。

将上述两个等式相等，得到：

√((Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2) = √((Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2)

两边平方，得到：

(Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2 = (Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2

展开并整理，得到：

Px^2 - 2PxFx + Fx^2 + Py^2 - 2PyFy + Fy^2 = Px^2 - 2PxVx + Vx^2 + Py^2 - 2PyVy + Vy^2

消去相同的项，得到：

- 2PxFx + Fx^2 - 2PyFy + Fy^2 = - 2PxVx + Vx^2 - 2PyVy + Vy^2

移项并整理，得到：

2Px(Vx - Fx) + 2Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2

再次整理，得到：

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = (Vx - Fx)(Vx + Fx) + (Vy - Fy)(Vy + Fy)

即：

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2

根据焦距的定义 p = |Fx - Vx|，化简上式，得到：

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - 2VxFx + Fx^2 + Vy^2 - 2VyFy + Fy^2

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = (Vx - Fx)^2 + (Vy - Fy)^2

由于 (Vx - Fx)^2 + (Vy - Fy)^2 = p^2，所以最终得到抛物线的参数方程为：

Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = p^2

在抛物线 y²=2px中，

令:y=2pt，则有，

(2pt)²=2px，x=2pt²，

所以，得抛物线的参数方程为 :

{x=2pt² t为参数

{y=2pt