平面向量八大定理

平面向量基本定理如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。

实质作用这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与其坐标建立起了一一对应的关系，这为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用．

笔者认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于以下几个特点。

（1）给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；

（2）通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；

（3）平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；

（4）选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了形与数的统一．

《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求是了解平面向量基本定理及其意义，笔者认为这是因为平面向量基本定理的理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐标运算上，直接应用极少．

但是，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，有利于培养学生进行数学思考和数学表述的能力．

平面向量基本定理的验证过程是向量的分解，是两向量进行线性运算的逆过程，是对学生逆向思维的训练．在平面向量基本定理的证明过程中，需要用到平行向量基本定理，同时，平行向量基本定理也是平面向量基本定理在一维时的特殊情形．这里体现了特殊与一般的辨证观点．

平面向量基本定理将平面内任意向量的问题转化为一组基底的问题，从而使问题简单化和程序化，体现了化归与转化的数学思想．平面向量基本定理将平面向量与有序实数对建立一一对应，搭起了数与形的桥梁，是利用向量进行数形转化的理论基础．

一、平面向量和几种特殊的向量

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以A为起点、B为终点的向量记作：

AB→或\boldsymbola。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的模

向量的大小叫做向量的长度（或称模），记作：

|AB→|或|a|。

3、几种特殊的向量

（1）零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0，其方向是任意的，|0|=0。

规定：0与任一向量平行。

（2）单位向量

长度为1个单位的向量叫做单位向量。

（3）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量。

向量a与b平行，通常记作a∥b。

（4）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。

① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。

② 相等向量具有传递性，而向量的平行不具有传递性（因为有零向量的存在）。

（5）相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量a与b相反，记作a=−b。同时向量

AB→与向量

BA→是一对相反向量，记作

AB→=

−BA→。

注：①零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性。

②任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。

③向量既有大小，又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，但向量的模能比较大小。

④

a|a|表示与a同向的单位向量。

4、向量的线性运算

（1）向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量a，有0+a=a+0=a，即任意向量与零向量的和为其本身。

① 常用结论

0+a=a+0=a，|a+b|⩽|a|+|b|。

当a与b同向时，|a+b|=|a|+|b|。

当a与b反向或a，b中至少有一个为0时，|a+b|=|a|−|b|（或|b|−|a|）。

② 向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a。

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

（2）向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

−(−a)=a，a+(−a)=(−a)+a=0，a−b=a+(−b)。

（3）向量的数乘

一般地，我们规定实数λλ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λλa。它的长度与方向规定如下：

① λλ|λa|=|λ||a|。

② 当λλ=0时，λλa=0；当λλ<0时，λλa的方向与a的方向相反；当λλ>0时，λλa的方向与a的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如λλ+a，λλ−a无意义。

向量数乘的运算律

设λλ，μμ为实数，则有：

λμλμλ(μa)=(λμ)a（结合律）。

λμλμ(λ+μ)a=λa+μa（第一分配律）。

λλλλ(a+b)=λa+λb（第二分配律）。

特别地，我们有：

λλλ(−λ)a=−(λa)=λ(−a)。

λλλλ(a−b)=λa−λb。

（4）向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a，b以及任意实数λλ，μ

μ1，μ

μ2，恒有λμ

μ

λ(μ1a±μ2b)=λμ

λμ

λμ1a±λμ2b。

5、向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λλ，使λb=λa。

注：（1）定理中a(a≠0)不能漏掉。若a=b=0，则实数λλ可以是任意实数；若a=0，b≠0，则不存在实数λλ，使得λb=λa。

（2）对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对（λλ，μμ），使λμλa+μb=0，则a与b共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

6、平面向量基本定理

如果

e1，

e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量a，有且只有一对实数λ

λ1，λ

λ2，使λ

λ

a=λ1e1+λ2e2。把不共线的向量

e1，

e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底

e1，

e2，有a=λ

λ1e1+λ

λ2e2=μ

μ1e1+μ

μ2e2，则可以得到λ

μ

λ1=μ1，且λ

μ

λ2=μ2。

7、向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作

OA→=a，

OB→=b，则θ∠AOB=θ（θ0°⩽θ⩽180°）叫做向量a与b的夹角。

当θθ=0°时，向量a，b共线且同向；

当θθ=90°时，向量a，b相互垂直，记作a⊥b；

当θθ=180°时，向量a，b共线且反向。

注：（1）向量的夹角是针对非零向量定义的。

（2）只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。

8、平面向量的坐标运算

已知

A=(x1,y1)，

B=(x2,y2)，则

AB→=(x2−x1,y2−y1)。

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

注：（1）相等的向量坐标相同，但起点和终点的坐标不一定相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关。

9、平面向量的坐标表示

（1）平面向量共线的坐标表示

已知

a=(x1,y1)，

b=(x2,y2)，若a∥b，则有

x1y2−x2y1=0。当且仅当

(x2≠0,y2≠0)时，a∥b⇔

x1x2=y1y2，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例。

注：若

A=(x1,y1)，

B=(x2,y2)，

C=(x3,y3)三点共线，则

(x2−x1)(y3−y2)=

(x3−x2)(y2−y1)，或

(x2−x1)(y3−y1)=

(x3−x1)(y2−y1)，或

(x3−x1)(y3−y2)=

(x3−x2)(y3−y1)。反之，若这些条件中有一个成立，则A，B，C三点共线。

（2）平面向量垂直的坐标表示

已知

a=(x1,y1)，

b=(x2,y2)，若a⊥b，则有a·b=

x1x2+y1y2=0。

（3）线段中点的坐标表示

已知点P为线段

P1P2的中点，且

P1(x1,y1)，

P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

x=x1+x22，

y=y1+y22。

10、平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，我们把数量θ|a||b|·cos⁡θ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=θ|a||b|·cos⁡θ，其中θθ是a与b的夹角。

两个向量夹角的取值范围是[0°,180°]，零向量与任一向量的数量积为0。

数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影θ|b|cos⁡θ的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当θθ为锐角时投影为正值；当θθ为钝角时投影为负值；当θθ为直角时投影为0；当θθ=0°时投影为|b|；当θθ=180°时投影为−|b|。

② b在a方向上的投影可以记为θ|b|cos⁡θ，也可记为

a·b|a|。