余弦定理怎么证明

余弦定理是三角形论中的重要定理，它为三角形内角与边长之间的关系提供了一种数学表达方式。余弦定理的形式为：

cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc

其中A为三角形内角，a, b, c分别为三角形的三边。

证明余弦定理的方法有多种，这里介绍一种基于构造的证明方法：

假设三角形ABC的三边长分别为a, b, c，角A的大小为α，角B的大小为β，角C的大小为γ。

在三角形ABC上，构造三个与边BC平行的线段，分别为BD，CE，AF。

令BF=a, CD=b, AE=c。

根据平行四边形面积公式，得：

BCD = ABF = bh1,

CEA = BFC = ah2,

其中h1为BD的长度，h2为CE的长度。

使用余弦定理的引理，得：

cos(α) = h1 / b,

cos(β) = h2 / a,

将3和4的结果带入余弦定理，得：

cos(α) = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc

证毕。

这样，我们就证明了余弦定理的正确性。

方法/步骤分步阅读

1

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任意作三角形ABC，记BC=a，AC=b，AB=c，BC所对角为α，过B做BD⊥AC交AC于点D

则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDC

2

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BD=csinα，AD=ccosα，CD=b-ccosα

由勾股定理，BD^2+CD^2=BC^2

(csinα)^2+(b-ccosα)^2=b^2-2bccosα+c^2[(sinα)^2+(cosα)^2]=b^2-2bccosα+c^2=a^2.

3

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即可证余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosα

同理可证余弦定理其它式子。