求微分方程的通解 求详细步骤

微分方程的通解是指能够满足微分方程所有解的函数族。通解的求解过程一般包括以下几个步骤：

将微分方程转化为标准形式：将微分方程转化为形如 y' + p(x)y = q(x) 的标准形式，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。

求出齐次方程的通解：将 q(x) 置为 0，得到 y' + p(x)y = 0 的齐次微分方程，然后使用常数变易法求解其通解 yh(x)。

求出非齐次方程的一个特解：通过变量分离法、常数变易法、待定系数法等方法求出非齐次方程的一个特解 yp(x)。

求出非齐次方程的通解：将齐次方程的通解 yh(x) 和特解 yp(x) 相加，即可得到非齐次方程的通解 y(x) = yh(x) + yp(x)。

下面举一个具体的例子来说明这些步骤：

求解微分方程 y' + 2xy = 4x。

将微分方程转化为标准形式：y' + 2xy = 4x。

求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0。首先将 y' + 2xy = 0 称为齐次微分方程，将其写成 y' = -2xy 的形式，然后将其分离变量得到 dy/y = -2x dx，两边同时积分得到 ln|y| = -x^2 + C，其中 C 是常数，所以齐次方程的通解为 yh(x) = Ce^(-x^2)。

求出非齐次方程的一个特解：因为 q(x) = 4x，所以我们猜测一个特解 yp(x) = Ax + B，代入原方程得到 y' + 2xy = 2A + 4Bx，因此要满足 2A + 4Bx = 4x，即 A = 2，B = 0。所以非齐次方程的一个特解为 yp(x) = 2x。

求出非齐次方程的通解：将齐次方程的通解 yh(x) = Ce^(-x^2) 和非齐次方程的一个特解 yp(x) = 2x 相加，得到非齐次方程的通解为 y(x) = Ce^(-x^2) + 2x，其中 C 是常数。

综上所述，微分方程 y' + 2xy = 4x 的通解为 y(x) = Ce^(-x^2) + 2x，其中 C 是常数。