导数运算法则推导过程

导数公式：y=c(c为常数) y'=0、y=x^n y'=nx^(n-1) ;运算法则：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；运算法则减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。

加法法则：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，除法法则：(g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2。

幂函数：y=xn y'=nx^(n-1)，指数函数：①y=ax y'=axlna ②y=ex y'=ex，对数函数：①y=logax y'=1/xlna ②y=lnx y'=1/x。

三角函数的导数公式正弦函数：(sinx)'=cosx，余弦函数：(cosx)'=-sinx，正切函数：(tanx)'=sec2x，余切函数：(cotx)'=-csc2x，正割函数：(secx)'=tanx·secx，余割函数：(cscx)'=-cotx·cscx。

反三角函数的导数公式反正弦函数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，反余弦函数：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，反正切函数：(arctanx)'=1/(1+x^2)，反余切函数：(arccotx)'=-1/(1+x^2)

导数公式推导过程如下：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

常用导数：

y = C(C为常数) , y' = 0。

y=xn, y' = nxn-1。

y = ax, y' = lna*ax。

y = ex, y' = ex。

y = logax , y' = 1 / (x*lna)。

y = lnx , y' = 1/x。

y = sinx , y' = cosx。

y = cosx , y' = -sinx。

y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx , y' = 1/(1+x2)。