正弦倍角公式及推导

三角函数是我们学习生涯中一个比较重要的学习知识点。其中正弦函数是三角函数中一个比较重要的函数。正弦函数有倍角公式。倍角公式如下:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

正弦倍角等于二倍正弦一倍角乘以余弦一倍角的积。推导：正弦二倍角等于正弦两个一倍角之和，按和角的正弦公式展开，等于两个正弦一倍角与余弦一倍角的积。

二倍角公式

一、正弦二倍角公式及其常见推论（推广）

1、正弦二倍角公式

sin2α=2sinα·cosα.

【注】数学上，“sin(2α)”习惯写作“sin2α”.

2、常见推论（推广）

(1) sinα=sin[2·(α/2)]=2sin(α/2)·cos(α/2).

(2) sin4α=sin(2·2α)=2sin2α·cos2α.

二、余弦二倍角公式及其常见推论

三、正切二倍角公式及其常见推论

三角函数的常见半角公式

【注】正、余弦的“半角公式”可通过“余弦二倍角公式的推论（推广）”直接得到。

例题与应用

三角函数倍角公式

Sin2A=2SinA·CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=2tanA/1-tanA^2

二倍角公式推导过程

sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1 =1-2(sinA)^2

tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2]

三倍角公式

sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A)

cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A)

tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)