什么是 线性函数 什么是 非线性函数

设 V，W 是同一数域 K 上 的线性空间，若 从 V 到 W 的 映射 f: V → W， 可以 保持 线性运算，即，对于 任何 x, y∈V，λ∈K 有：

f(x+y)＝f(x)＋f(y)

f(λx)＝λf(x)

则称 f 为 线性映射。

当 W = V 时， 线性映射 f: V → V 被称为 线性变换。

我们知道，数域 K 是自己之上的 线性空间，于是 当 W = K 时，线性映射 f: V → K 被称为 线性函数。

当给定 V 一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 后，对于 V 中的任意向量 x 有：

x = x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)X, (x₁, x₂, ..., x_n ∈ K)

其中 X = (x₁, x₂, ..., x_n)ᐪ 称为 x 的坐标向量。

根据 上面 线性映射的 保线性运算性，有：

f(x) = f(x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n) = x₁f(ε₁) + x₂f(ε₂) + ... + x_nf(ε_n) = (f(ε₁), f(ε₂), ..., f(ε_n))X ①

其中 每个 f(ε_i) (i = 1, 2, ..., n) 都是 W 中的向量，若 给定 W 中一组基 {η₁, η₂, ..., η_m}，则每个 f(ε_i) 可表示为：

f(ε_i) = a_{1i}η₁ + a_{2i}η₂ + ... + a_{mi}η_m

进而有：

(f(ε₁), f(ε₂), ..., f(ε_n)) = (η₁, η₂, ..., η_n)A

其中 A = (a_{ij}) 是一个 m × n 矩阵。结合 ① 有：

f(x) = (η₁, η₂, ..., η_n)AX ②

又因为 f(x) 也是 W 中的向量，于是有：

f(x) = y₁η₁ + y₂η₂ + ... + y_mη_m = (η₁, η₂, ..., η_n)Y, (y₁, y₂, ..., y_n ∈ K)

其中 Y = (y₁, y₂, ..., y_m)ᐪ 是 f(x) 的坐标向量。结合 ② 得到：

(η₁, η₂, ..., η_n)Y = (η₁, η₂, ..., η_n)AX

即，

Y = AX ③

这说明，在 V，W 的基确定的情况下 线性映射 某个 矩阵 A 一一对应。

当 K， W， V 皆为 实数域 R 时，式 ③ 就变为：

y = ax

这就是我们常说的线性函数。

考虑 Y = AX + B，其中 B=(b₁, b₂, ..., b_m) ∈ W，由于：

f(X₁ + X₂) = A(X₁ + X₂) + B = AX₁ + B + AX₂ + B - B = f(X₁) + f(X₂) - B

f(λX) = A(λX) + B = λ(AX + B) + B - λB = λf(X) + B - λB

接不满足 保线性运算性，于是 Y = AX + B 不是 线性映射，我们称为 仿射。

当 K = W = V = R 时，仿射就是：

y = ax + b

也就是我们中学时最早接触的 一次函数。

从几何上来说，只有经过原点的“直线”才是 线性函数，其他的函数都是 非线性函数，不过有时候 非线性函数 特指 非仿射函数（一次函数），一般有：二次以上的幂函数，圆锥曲线，指数函数、对数函数 等。

线性映射还可以扩展到 多元情况：设 V₁, V₂, ..., V_k，W 是同一数域 K 上的 线性空间，若 多元函数 f: V₁ × V₂ × ... × V_k → W，对于 任意 1 i k 均 保线性运算，即，对于 任何 x_i, y_i ∈V_i，α，β ∈ K 有：

f(x₁, x₂, ..., αx_i + βy_i, ..., x_n) = αf(x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n) + βf(x₁, x₂, ..., y_i, ..., x_n)

则称 f 为 多线性映射，当 W = K 时，称 f 为 多线性函数。

特别地，当 k = 2, V₁ = V₂ = V，W = K 时 称 f: V × V → K 为 V 上的 双线性函数。

给定 V 中的一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} ，令 V 中的 任意向量 x，y 为：

x = x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)X, (x₁, x₂, ..., x_n ∈ K)

y = y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n = (ε₁, ε₂, ..., ε_n)Y, (y₁, y₂, ..., y_n ∈ K)

则 根据 保线性运算性 有：

f(x, y)

= f(x₁ε₁ + x₂ε₂ + ... + x_nε_n, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n)

= x₁f(ε₁, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n) + x₂f(ε₂, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n) + ... + x_nf(ε_n, y₁ε₁ + y₂ε₂ + ... + y_nε_n)

= x₁y₁f(ε₁, ε₁) + x₁y₂f(ε₁, ε₂) + ... + x₁y_nf(ε₁, ε_n)

+ x₂y₁f(ε₂, ε₁) + x₂y₂f(ε₂, ε₂) + ... + x₂y_nf(ε₂, ε_n)

+ ...

+ x_ny₁f(ε_n, ε₁) + x_ny₂f(ε_n, ε₂) + ... + x_ny_nf(ε_n, ε_n)

即，

可见 双线性函数，依然和 一个 方阵 A 一一对应。

再特殊一些，称

f(x, x) = XᐪAX = a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + ... + a_{nn}(x_n)²

为 二次型。

由此可见，齐次 n元n次幂函数 虽然不是 线性函数，但可以是 多线性函数。

最后，线性空间 V 上的全体 线性函数，组成另外一个 线性空间，称为 V 的对偶空间，记为 V* ，而 V* 上的 全体线性函数 组成的空间 V** 和 V 线性同构，于是认为 V** = V，即 V 也是 V* 的对偶空间。

线性函数以为其特殊性，被在《线性代数》中广泛而深入的研究和使用，而 《圆锥曲线》则是研究时间最长（从古希腊开始）的 非线性函数。

二维下，线性函数就是直线，非线性函数就是曲线。