角平分线定理及其运用

角平分线定理是指，在一个三角形中，如果一条直线从一个角的顶点出发，且与对边相交于一点，那么这条直线把这个角分成两个相等的角。
这个定理可以用于求解三角形中的各种角度和长度。
这个定理的证明可以使用相似三角形的性质，结合其中一些角等于90度的特殊情况进行推导，所以可以得出该结论。
角平分线定理不仅可以应用于三角形，还可以拓展到多边形中，同样也可以用于证明一些几何定理。
在解题过程中，可以通过划分角度为等分的方法，降低计算难度，提高效率。
此外，角平分线定理也可以作为解决一些实际问题的工具，如求解直角梯形的对角线长度等。

角平分线定理（Angle Bisector Theorem）是初中数学中的一个重要定理。该定理表明：若有一个三角形ABC，点D在边BC上，且∠BAD = ∠CAD，则BD:DC = AB:AC。

这个定理可以解释为：一条角的平分线把对边分成两条线段，这两条线段与角的两边的比值是相等的。

我们可以通过角平分线定理来求三角形内某个角的角平分线所分割的边长比例。下面是一个使用角平分线定理的例子：

已知三角形ABC中，AB=8，AC=6，AD是∠BAC的角平分线，求BD和CD的长度。

首先使用角平分线定理，得到BD：DC = AB:AC = 8:6，化简得到BD:DC=4:3。

然后设BD的长度为4x，CD的长度为3x，根据三角形BCD的条件得到：4x+3x=BC=2AD=2BD=8x，从而得到x=1，代入BD和CD的长度比例中得到BD=4，CD=3。

因此，BD的长度为4，CD的长度为3。

角平分线平分角，角平分线所在直线是角的对称轴，角平分线上的点到角两边的距离相等，这些性质、定理为一些常规问题的证明开辟新思路。

1、如图1，已知AD是角平分线，GF⊥AB，GE⊥AC，所以，GF=GE。

2、如图2，已知∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，必可证AB=AC。

3、如图3，已知∠BAC=∠CAD，DE∥AC，必可证DE=AE。

根据角平分线与平行线组合求角度大小

角平分线与平行线组合是初中数学中比较常见的一个几何模型，这类题常常隐含等腰三角形。利用角的平分线的定义求出半角的大小，借助平行线的助推，把所求角等量迁移到求得半角，从而得解，这条思路值得熟记。特别注意一个几何图形中出现角平分线和平行线就会有等腰三角形，有角平分线和等腰三角形就会有平行线。

根据角平分线与高线组合求两个角和的大小

角平分线与高线组合也是个比较常见的模型，这个类型的解题思路大概可以总结为4点：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得另一个锐角；（2）根据三角形的外角定理求得所求一个角的度数；（3）根据角平分线的定义求半角的度数；（4）根据三角形内角和定理求第三个角的度数。

根据三角形的外角定理求得所求一个角的度数

三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，当已知两个内角，就可以把外角求出来，再根据外角平分线就可以求出所求角度的大小。对于这类题求得三角形的外角的大小是解题的基础，利用好角的平分线的定义是解题的关键。

利用角平分线性质求距离

角平分线的性质是八年级数学解题的一个重要工具，而在实际学习过程中，不少学生只知定义，而不知性质。例如第5题利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，判断AM平分∠DAB是解题的关键。由此可见，熟练掌握知识，全面掌握知识才能更好地去解题。

角平分线是角的对称轴，一如，Op平分<A0B，在0A，0B上取点D，E，使0D=0E，H在0p上，则