二阶微分方程及其解法

通解加C，C代表常数，特解不加C。

通解是指满足这种形式的函数都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常数。通解是一个函数族

特解顾名思义就是一个特殊的解，它是一个函数，这个函数是微分方程的解，但是微分方程可能还有别的解。如y=0就是上面微分方程的特解。

特解在解非其次方程等一些微分方程有特殊的作用。

扩展资料

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

MATLAB求解x''+0.7x'+0.8x'|x'|+25.6x-25.6x³=0二阶微分方程组的方法，可以按下列步骤进行：

1、建立自定义函数func（）

function f = func(t,x) %x''+0.7x'+0.8x'|x'|+25.6x-25.6x³=0 f(1)=x(2); f(2)=25.6*x(1)^3-25.6*x(1)-0.8*x(2)*abs(x(2))-0.7*x(2); f=f(:)

; 2、建立龙格库塔算法函数runge_kutta（）

调用格式：[t,x] = runge_kutta(@(t,x)func(t,x),x0,h,a,b)

; 3、然后根据x和x'数据，绘制出x(t)、x′(t)的图形。

plot（x（：，1）,x（：，2））

操作方法

01

1.二阶常系数齐次线性微分方程解法

一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0

特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

02

2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

一般形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

① f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

03

2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

04

有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以掌握方法，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。