十字相乘法的原理及运用

十字相乘法的原理是，多项式乘多项式法则及合并同类项法则，

即(aX十b)(cX十d)=acx^2十adx十bCx十bd=aCⅩ^2十(ad十bC)乂十bd。

所所十字号前两项之积为二次三项式的第一项。(即aX，CⅩ)

十字号两项之积是第三项  即b，d。

交叉积的和为中间项。

十字号后

答:十字相乘法的原理是:将二次项分为两因式之积，对将常数项分为两数之积，交叉相乘的代数和要等于一次项。应用:主要是对二次项式的因式分解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法解题实例：

1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题

因为 1 -2

        1 ╳ 6

所以m²+4m-12

       =（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题

因为 1    2

        5 ╳ -4

所以5x²+6x-8

       =（x+2）（5x-4）

例3解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5.

因为 1   -3

        1 ╳ -5

所以原方程可变形

（x-3）（x-5）=0

所以x1=3    x2=5

例4、解方程 6x²-5x-25=0

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.

因为 2    -5

         3 ╳ 5

所以 原方程可变形成

（2x-5）（3x+5）=0

所以 x1=5/2     x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x²-67xy+18y²分解因式

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y

因为 2 -9y

        7 ╳ -2y

所以 14x²-67xy+18y²

       = (2x-9y)(7x-2y)

例6：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0

分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解

x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0

x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0

x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0      1 -b

2 ╳ +b

[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 

1    -（2a+b）

1 ╳ -（a-b）

所以 x1=2a+b      x2=a-b