正态分布函数标准化

正态分布函数的标准化过程实际上是将原始的正态分布转换为标准正态分布。具体来说，如果一个随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ， σ^2)，其概率密度函数为f(x) = (1 / √(2πσ)) * e^(-((x - μ)^2) / (2σ^2))。为了将这个正态分布转换为标准正态分布，我们进行如下变换Z = (X - μ) / σ，这样得到的Z就服从均值为0、方差为1的标准正态分布。

这种标准化的方法在处理实际问题时特别有用，因为它可以使得数据的分布更为集中，便于进行进一步的统计分析。

假设X～N(μ,σ^2),则Y=(X-μ)/σ～N(0,1).证明;因为X～N(μ,σ^2),所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.(注：F(y)为Y的分布函数,Fx(x)为X的分布函数）而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)所以 p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2].从而,N(0,1).正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。

原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态,实际上是积分变换的必然结果,就好比是：y = kx + b 直线,它不一定过原点的,但是通过变换就可以了：大Y = y-b ; 大X = kx ; ===> 大Y = 大X

2.y = a*b 乘积,通过变换就可以变成加法运算：Ln(y) = Lna + Lnb

3.y = ax² + bx + c 通过变换就可以变成标准形式：y = a(x + b/(2a))² + (c -b²/(4a))

正态分布的标准化也只不过是 “积分变换”而已,虽然高矮胖瘦不同的形态,但是 变量的 线性伸缩变换 并不改变其 量化特性,虽然标准化以后都变成期望是0,方差是1的 标准分布了,但这种 因变量 自变量的 依赖关系仍然存在,不用担心会 “质变”。