如何证明矢量三点共线定理

喘的好认真 1个月前 已收到1个回答 举报

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共线向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示为a∥b ,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得 b=λa。

证明过程如下:

设A、B、C三点共线,O是平面内任一点。

因为A、B、C共线,所以存在非零实数k,使

AB=kAC

即 OB-OA=k(OC-OA)

所以 OB=kOC+(1-k)OA

[注:两个系数和 k+1-k=1]

反之,若存在实数x,y 满足 x+y=1,且OA=xOB+yOC

则 OA=xOB+(1-x)OC

OA-OC=x(OB-OC)

所以 CA=xCB

因此,向量CA与CB共线

又由于 CA、CB有公共点C

所以,A、B、C三点共线

三点共线的证明方法:

方法一:取两点确立一条直线,计算该直线的解析式 .代入第三点坐标 看是否满足该解析式 (直线与方程)。

方法二:设三点为A、B、C .利用向量证明:λAB=AC(其中λ为非零实数)。

方法三:利用点差法求出AB斜率和AC斜率,相等即三点共线。

方法四:用梅涅劳斯定理。

方法五:利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知:如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。

方法六:运用公(定)理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(垂直)”.其实就是同一法。

方法七:证明其夹角为180°。

方法八:设A B C ,证明△ABC面积为0

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