整式乘除的典型难题及解法

一、添项后直接利用题目条件中给予的公式

例1、阅读下文，寻找规律：

已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，

（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ……

（1）（1﹣x）（ ）=1﹣x8

（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+……+xn）= ．

②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= ．

（3）根据你的猜想，计算：

①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ．

② 1+2+22+23+24+…+22007= ．

解：（1）1+x+x2...+x7

（2）①1-xn+1 ②x11-1

（3）①1-26=-63 ②22008-1

对于第（3）题第②问

我们解题时先观察，它与一般规律（1﹣x）（1+x+x2+……+xn）=1-xn+1的区别与联系，

可以发现：在1+2+22+23+24+…+22007中，x=2，n=2007，但是缺少“1-x” 这一项，对于本小题，也就是缺少“1-2”这个项，那我们就把该项添上，而1-2=-1，原式多乘了个-1，为了保持原式不变，自然还要再乘以-1，才能保持不变，所以我们可以这样解：

1+2+22+23+24+…+22007 = (-1)×(1-2)×(1+2+22+23+24+…+22007 )

=-1×(1-22008)

=22008-1

二、改变一项乘积的形式，然后利用平方差公式

例2、3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　）

A．4 B．6 C．2 D．8

解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1

＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

＝264﹣1+1

＝264；

∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，

而64＝16×4，

∴原式的个位数为6．

故选：B．

本题中将3改成22﹣1，使之与后项构成平方差的形式。

三、添加一项后构成平方差公式，再乘以所添加项的倒数

说明：再乘以所添加项的倒数的目的是为了与原式相等

例3、请计算（22+1）（24+1）…（232+1）

四、利用平方差公式分解因式后，写成分数连乘的形式，分子分母邻位相消