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解方程的实质意义是什么?
中学就学会解方程。对于一个中学级别的代数方程组,如二元一次方程组,我们会运用加减消元、代入消元、平方变换等步骤技巧的方法解出其中未知数的具体值,但是其步骤的具体逻辑意义是什么呢?
举例:
x+y=7 ①
x·y=12 ②
那么,联立 ①② 得到方程组的逻辑意义就是取它们的交集,图像意义是寻找二者的交点。
但若 ①+② 得到一个新方程 x+xy+x=19 ③,那么这个新方程的意义是什么?或者说,它与 ①、②,还有联立 ①② 的逻辑关系是什么?
我尝试不完全归纳,举出几个初级方程,貌似:
1. 若原来的两个方程联立有解,那么两方程相加得到的新方程与原方程不一定等价,但是会有交集,即新方程是原两方程的既不必要也不充分条件。
2. 若原来的两个方程联立无解,那么新方程无解。
3. 若原来方程组中的方程本无解,新方程却会有解。
以上的逻辑含义是什么,还有代入的逻辑含义是什么呢?由于学识尚浅,不能高度概括理解,若涉及高数内容线性代数可否深入浅出谈谈,请大哥帮忙。
另外,对于增根与失去根的问题:
设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同,那么称这两个方程等价。如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根,但不是 B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果 x=b 是方程 B(x)=0 的根,但不是 A(x)=0 的根,称 x=b 是方程B(x)=0 的失根。
对于增根与失根的定义很好懂,中学就了解到解分式方程与根式方程时可能会出现增根。我尝试不完全归纳得到结论:若原一元方程两边同时乘以同未知数整因式(包括乘方),那么可能出现增根,即且得到的新方程可能会是原方程的必要条件,但若同除同元未知数整因式(包括开方)那么可能会出现失根,新方程为原方程充分条件,这说法完全正确吗?
另外可否完全归纳在什么样的情况下会出现增根与失根?或则说增根与失根只能在解出方程后代回原方程才能确定。
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