关于对角线对称的行列式

以主对角线为对称轴的行列式是：aij=-aji，则行列式叫作对称行列式。

对称行列式是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的行列式。在线性代数中，对称行列式是一个方形行列式，其转置行列式和自身相等。

行列式性质

1、行列式和它的转置行列式相等。

2、对换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论：行列式中某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

3、行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

对角线对称的行列式一定是对称矩阵因为对称矩阵的性质是在主对角线上的元素沿对角线对称，即$a_{ij}=a_{ji}$，因此对称矩阵的行列式是中心对称的，也就是说，行列式的值相等于其转置矩阵的行列式值。
因此，对角线对称的矩阵是对称矩阵，其行列式一定是中心对称的。
此外，对角线对称的矩阵还具有一些其他的特殊性质，比如它的特征向量一定正交，特征值一定是实数，等等。

若一个n阶矩阵A满足A的对角线（从左上角到右下角）两边元素互为相反数，则称A为关于对角线对称的矩阵。对于一个关于对角线对称的矩阵，其行列式具有如下性质：当n为偶数时，行列式的值为0，当n为奇数时，行列式的值为对角线上元素的乘积。

如果一个矩阵关于其对角线对称，那么其行列式的值与该对角线上元素的乘积相等。这是因为，对一个矩阵进行对角线对称变换等价于交换矩阵的行列位置，因此其行列式的值也会变为原来的相反数。

而因为对角线上的元素在交换行列位置时也会被交换，所以在最终的乘积中会对称地出现两次，导致贡献为正数，从而抵消了行列式值的变化。

对角线对称的行列式等于其转置行列式。
这是因为，对角线对称的行列式中，对角线两侧的元素互为相反数，而对角线上的元素是其本身，而转置行列式中，行列互换后对角线上的元素仍然是其本身，而对角线两侧的元素也随之互换，因此对角线对称的行列式等于其转置行列式。
对角线对称的行列式在数学中有着广泛的应用，例如在线性代数中求矩阵的行列式，或者在微积分中求二阶行列式时都会涉及到对角线对称的行列式。