什么是椭圆焦点

在数学中，椭圆是平面上到du两个固定点的距离之和是常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点。数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

扩展资料：

椭圆定理与一般求解求解定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

解析几何法求证椭圆切线定理：

解：设C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；

（a^2）-（b^2）=（c^2）；

F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）

AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；

联立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；

因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：

4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；

m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；

=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；

由根的判别式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；

所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；

由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；

m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp；

设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；

A0F1：（y-0）=（-1/k）（x+c）=>x+ky+c=0-----式3；

联立式2和式3消去y得：x=-（km+c）/（（k^2）+1）；

联立式2和式3消去x得：y= （m-kc）/（（k^2）+1）；

则：A0：（-（km+c）/（（k^2）+1），（m-kc）/（（k^2）+1））；

|A0F1|^2=（（m-kc）^2）/（（k^2）+1））；

同理：B0F2：（y-0）=（-1/k）（x-c）；

=>B0：（（c-km）/（（k^2）+1），（m+kc）/（（k^2）+1））；

|B0F2|^2=（（m+kc）^2）/（（k^2）+1））；

|PF1|^2=（（xp+c）^2）+（yp^2）；

|PF2|^2=（（xp-c）^2）+（yp^2）；

证明：若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>（|A0F1|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|PF2|^2）

=>（|PF2|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|A0F1|^2）

（（m+kc）^2）/（（m-kc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；-----式4

m+kc=（b^2）/yp-（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）-xpc）（b^2）/（yp（a^2））；-----式5

m-kc=（b^2）/yp+（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）+xpc）（b^2）/（yp（a^2））；----式6

把式5和式6代入式4得：

（（（a^2）-xpc）^2）/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2）+（yp^2））

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）+（（（a^2）-xpc）^2）（yp^2）=（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）+（（（a^2）+xpc）^2）（yp^2）

=>[（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）-（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）]=[（（（a^2）+xpc）^2）-（（（a^2）-xpc）^2）]（yp^2）

=>[（（a^2）-xpc）（xp+c）+（（a^2）+xpc）（xp-c）][（（a^2）-xpc）（xp+c）-（（a^2）+xpc）（xp-c）]=4xpc（ayp）^2

=>（2（a^2）xp-2（c^2）xp）（2c（a^2）-2c（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>4xpc（b^2）（（a^2）-（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>（b^2）（（a^2）-（xp^2））=（ayp）^2

=>（ab）^2=（（ayp）^2）+（（bxp）^2）

=>（（xp^2）/（a^2））+（（yp^2）/（b^2））=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证。