线性运算的八条规律

线性运算有八条规律，分别是封闭性、交换律、结合律、分配律、单位元素、相反元素、零元素和可加性。

封闭性指在同一种运算下两个元素的运算结果仍属于同一种运算。

交换律是指运算元素的顺序不影响最终结果，结合律则是指运算次序不影响最终结果。

分配律是指两种运算之间存在一定的关系。

单位元素表示在某种运算下存在一个元素，它与其他元素进行运算仍得到原来的元素。

相反元素表示对于某个元素存在一个元素，它们的运算结果是单位元素。

零元素指在某种运算下存在一个元素，它与任何元素进行运算得到这个元素本身。可加性表示两种运算之间存在一定的关系。以上八条规律是线性运算的基本性质，对于理解和应用线性运算有着重要的指导作用。

1. 从应用的角度考虑，线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式。比如，对函数的求导数是一个线性变换，平面上向量的旋转是一个线性变换，等等。 2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则，任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换：先运算后变换与先变换后运算的结果一致。 3. 在某种意义下，线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。 4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具，最基本的问题是如何判断两个线性空间同构，即，它们之间是否存在保持运算的双射。 5. 两个代数结构之间的保持运算的映射，称为同态（更一般的概念是对象之间的态射，这是范畴与函子的语言）。线性空间是非常基本的代数结构，线性映射正是这种代数结构之间的同态。 6. 线性变换研究的基本问题是：化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。化简是指：如何选取适当的基，使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式，简单的矩阵一般指对角矩阵（两个对角矩阵乘积可交换）。这就引出特征值与特征向量的概念以及一些列的问题。 7. 要求特征值，就要求多项式的根，这就是高等代数中讨论多项式理论的目的之一；要求特征向量，就要求线性方程组的解，这是线性方程组的主要作用。这样又引起一系列的问题，比如，矩阵、行列式等等。 8. 作为最基础的代数结构，向量空间是构造其它更复杂的代数结构的基石。就像盖高楼大厦一样，向量空间只相当于其框架结构。