狄拉克方程的推导过程

   首先，我们假设一个可以描述力学系统的运动的通用方程：

   F = m × a 

   其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。 现在，我们要推导出狄拉克方程，它是一个可以用来描述物体在引力场中运动的方程。 因此，我们首先要引入一个新的变量：G，它表示引力场的强度。 

   由此，我们可以得出狄拉克方程： 

   F = GmM/r^2 

  其中，G表示引力场的强度，m表示物体的质量，M表示另一个物体的质量，r表示两个物体之间的距离。

            狄拉克于1928年提出了新的相对论性量子力学方程，被后人称为狄拉克方程。狄拉克方程解决了K-G方程的负概率困难。

相对论下，经典的能量-动量关系式为：E^2=c^2p^2+ m^2c^4

模仿上述形式，则在量子情形下，能量-动量算符关系式为：

\hat{H} = \pm \sqrt{\hat{p}^2+m^2c^4}=\pm \sqrt{\hat{p_x}^2+\hat{p_y}^2 +\hat{p_z}^2 +m^2c^4} (1)

此时算符在根号中，这不是量子力学的标准形式。

因此狄拉克于1928年，提出哈密顿量算符与动量分量的关系应该是线性相关的形式

\hat{H}=\pm c (a_x \hat{p_x} +a_y \hat{p_y} +a_z \hat{p_z} +\beta m c) (2)

其中a_i,\beta为待定系数。

对比（1），（2）式，同时取平方得

\hat{p_x}^2+\hat{p_y}^2+\hat{p_z}^2+m^2c^4= c(a_x\hat{p_x}+a_y\hat{p_y}+a_z\hat{p_z}+\beta mc)\cdot c(a_x\hat{p_x}+a_y\hat{p_y}+a_z\hat{p_z}+\beta mc)

于是待定系数满足以下关系式（注意算符乘积的先后次序）

a_x^2=a_y^2=a_z^2=\beta^2=1a_xa_y+a_ya_x=0

a_xa_z+a_za_x=0

a_ya_z+a_za_y=0

a_x\beta+\beta a_x=0

a_y \beta+ \beta a_y=0

a_z \beta+ \beta a_z=0

从以上关系式可以看出，四个系数是对称的。

但上述方程组在实数和复数域内均无非零解。狄拉克认为此时可以将四个系数都看成是4 \times 4的矩阵，可以验证，以下矩阵可以满足上述方程组。

a_1= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_x \\

\sigma_x & 0

\end{array}

\right)

a_2= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_y \\

\sigma_y & 0

\end{array}

\right)

a_3= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_z \\

\sigma_z & 0

\end{array}

\right)

\beta= \left( \begin{array}{ccc}

I & 0\\

0 & -I

\end{array} \right)

其中\sigma代表2 \times 2的泡利矩阵。

哈密顿量算符\hat{H}=c a_i \cdot \hat{p_i}+\beta m c^2,i=x,y,z

则自由粒子的狄拉克方程为i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H}\psi，形式上与薛定谔方程类似，但哈密顿量算符的具体形式是不同的。

为了避先克莱因-高登方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。但是负能级的解是成立的，根据泡利不相容原理，狄拉克认为仟有的负能级都已经被电子占据，所以阻止了正能级电子向负能级跃迁，这就是费米子海，也叫狄拉克之海。根据以上猜想可推出正电子等的存在。

应用

既然实险已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。自由电子量最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一千电子的静止能量高，并且可以连续地增加到无穷。与此同吋，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。

这个结果表明:如果有一千电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。所以狄拉克大胆猜测所有的负能态都已经被电子占据，而泡利不相信容原理则会阻止正能态的电子向已经被完全占据的负能态跃迁。这个猜想实际上说明了物质被“浸泡"在费米子(如电子丿的“海洋″中，也就是狄拉克之海。详见后文的空穴理论以及相关文献。

空穴理论

针对巨个予盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。这个理论认为由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个申子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一千电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。

按照这千理论，如果把一个电子从某-一个负能状态激发到一个正能状态上去，需要从外界输入至少两倍于电子静止能量的能量。这表现为可以看到一个正能状态的电子和一个负能状态的空穴。这个正能状态的电子带电荷_e，所具有的能量相当于或大于一千电子的静止能量。按照电荷守恒定律和能量守恒定律的要求，这个负能状态的空穴应该表现为一个带电荷为+e的粒子，这个粒子所具有的能量应当相当于或大于一个电子的静止能量。这个粒子的运动行为是一个带正电荷的“电子"，即正电子。狄拉克的理论预言了正电子的存在(1)。

正电子的发现1932年美国物理学家安德森(Car|DaVⅰdAnderson)在宇宙线实验中观察到高能光子穿过重原子核附近时，可以转化为一个电子和一个质量与电子相同但带有的是单位正电荷的粒子，从而发现了正电子，狄拉克对正电子这个预言得到了实验的证实。正电子的发现表明对于电子来说，正负电荷还是具有对称性的。狄拉克的空穴理论给出了反粒子的概念，正电子是电子的仅粒子。