幂函数性质归纳

看幂函数性质归纳

函数y=x^n是幂函数。

(1)图像过(1,1)点，

(2)n＞0时，在第一象限内，是增函数，

(3)n＜0时，在第一象限内，是减函数，

(4)n＞0时，图像过原点，

(5) n＞1时，在第一象限内是下凸函数。

0＜n＜1时，在第一象限内是上凸函数。

1、一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

2、正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。

3、负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

4、零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

5、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；幂函数的单调区间（当a为分数时）。

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

6 而指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。

一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

所以幂函数不是指数函数也不是对数函数

幂函数是一种具有形式f(x) = x^a的函数，其中a是实数常数。这里的x可以是实数，正数或者负数。幂函数的重要特点是它的图像随着a的增大或减小而发生形态上的变化。当a大于1时，幂函数的图像在原点附近急剧上升，然后逐渐变缓。

当0<a<1时，幂函数的图像则在原点附近急剧下降，然后逐渐变缓。

当a等于0时，幂函数成为常函数f(x)=1。当a小于0时，幂函数的图像在原点右侧下降，然后在左侧上升。