为什么多元函数连续和可导

只有左导数和右导数存在且“相等”，这是函数在这一点上可以引导的充分必要条件，而不是左极限＝右极限（左右极限存在），连续性是函数的值，以及导数。函数的变化是函数的变化率，当然，它可以导致更高的水平。

它必须是闭区间连续性。当区间是连续的时，f（a）和f（b）不一定存在，且存在不一定符合定理。我们可以设计一个单调递增的函数（a，b），但f（a）＝f（b），它开区间连续，但中值定理不成立。

首先一下几点都是对一元函数所说的，对多元函数不一定成立：

1，连续和可导有非常明确的关系，即可导一定连续，但连续不一定可导，例如y=|x|在x=0处连续，但该点处的左右导数不相等，故不可导。关于可导一定连续，严格证明教材上都有，这里只给一个形象的解释，函数f(x)在x0处的导数f‘(x0)定义为x趋于x0时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，这个极限表达式中，分母已经是趋于0的了，如果极限值存在，分子也必须趋于0（否则极限为∞），从而形成极限的0/0型未定式，而这就保证了limf(x)=f(x0)，也就是f(x)在x0处连续。另外以上两条的逆否命题是“不连续一定不可导”，“不可导不一定不连续”，也是很有用的。

2，关于有界和连续，对于一般的情况，有界不一定连续（例如狄利克雷函数D(x)），连续也不一定有界（例如y=x）。有界和连续只在特殊的情况下有联系，例如对点而言，函数在某点连续则在该点的某个邻域内一定有界，这是由于在某点连续的函数在该点极限一定存在，而函数极限具有局部有界性，注意我们只能断言这样的邻域一定存在，但是邻域的范围一般是不能事先断言的。对于区间而言，在闭区间上连续的函数一定有界，而对于开区间或无穷区间，都不一定成立，例如f(x)=1/x在(0,1)上连续但无界。

3，有界和可导之间一般来说没有什么关系，有界不一定可导，可导也不一定有界。

4，注意着三个概念的定义方式，连续和可导都是“逐点”定义的，即先定义在某点处函数的连续与可导，再推广到区间，推广的方式是非常自然的，即如果在区间内每一点处函数都连续或可导，则说函数在这个区间上连续或可导。连续和可导本质上是“局部”性质的概念，而有界不同，它没有“点定义”，说函数在某点处有界是没有意义的，有界性是定义在区间上的，所以本质上是“整体”性质的概念。

5，从上面的讨论可以看出，对于闭区间来说，可导一定连续，连续一定有界，即这三个概念的强弱程度为：可导>连续>有界