爪形定理证明

爪形定理的证明是由贝尔定理和极大熵定理推导得出的。贝尔定理告诉我们，在特定情况下，给定信息熵H(X)，其中X是信息源，如果将X分成两个互斥的子集，则H(X)应该等于两个子集的信息熵之和。

极大熵定理将贝尔定理的概念扩展到一系列的子集，它表明，在一定的条件下，H(X)应该等于子集的信息熵之和的最大值，这就是爪形定理。

鸡爪定理

鸡爪定理：三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到其它两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。

鸡爪定理指的是设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成的图形，形似鸡爪，故被称为鸡爪定理。

证明

1.证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC

∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）

∴KB=KI=KJ=KC

2.证明：∵E为内心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0.5∠ABC，

∵F为旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0.5∠MBC

∴∠1+∠CBF=0.5（∠ABC+∠MBC）=0.5×180o=90o，

∴∠EBF=90o，同理：∠ECF=90度，

∴∠EBF+∠ECF=180o， E、B、F、C四点共圆。

∵AD平分∠BAC，且B，D，C三点在△ABC外接圆上，∴DB=DC。①

∵∠6=∠1+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=∠2

∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比较①得：DB=DC=DE；

∵E、B、F、C四点共圆，∴D为E、B、F、C四点外接圆的圆心，

∴DB=DC=DE=DF，定理得证。