求导基本运算法则

导数的四则运算法则：

1、(u+v)'=u'+v'

2、(u-v)'=u'-v'

3、(uv)'=u'v+uv'

4、(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

扩展资料：

导数求导法则：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

一、四则运算的求导法则

1、加法的求导法则：(u+v)'=u'+v'.

2、减法的求导法则：(u-v)'=u'-v'.

3、乘法的求导法则：(uv)'=u'v+uv'.

4、除法的求导法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v.

【注】这里，“u”代指的是“u(x)”,“v”代指的是“v(x)”。

二、实例讲解

求下面几个函数的导数。

【提示】(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx。

1、y=sinx+cosx

解：y'=(sinx+cosx)'=(sinx)'+(cosx)'=cosx+(-sinx)=cosx-sinx.

2、y=sinx-cosx

解：y'=(sinx-cosx)'=(sinx)'-(cosx)'=cosx-(-sinx)=cosx+sinx=sinx+cosx.

3、y=sinxcosx

解：y'=(sinxcosx)'=(sinx)'cosx+sinx(cosx)'

=cosxcosx+sinx(-sinx)=cosx-sinx=cos2x.

【注】（1）cosx表示(cosx)；（2）数学上，习惯用“cos2x”表示“cos(2x)”；

（3）余弦的2倍角公式：cos2x=cosx-sinx。

4.y=sinx/cosx

解：y'=(sinx/cosx)'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cosx

=[cosxcosx-sinx(-sinx)]/cosx=(cosx+sinx)/cosx=1/cosx.

【注】（1）cosx+sinx=1；

（2）因为正割secx=1/cosx，所以有时也把“1/cosx”写成“secx”。

三、复合函数的求导法则

形如“y=u(v(x))”的函数，可以看成是由“y=u(v)”与“v=v(x)”两个函数复合而成的函数。其中，外层函数是“y=u(v)”（注：“v”是自变量），内层函数是“v=v(x)”（注：“x”是自变量）。于是，函数y=u(v(x))对“x”的导数

y'=[u(v(x))]'=u'(v)v'(x)。

【注】（1）“u'(v)”表示“u”对“v”的导数，“v'(x)”表示“v”对“x”的导数；

（2）求完导数后“u'(v)”中的“v”要还原成“v(x)”。

四、实例讲解

求下面两个函数的导数。

1、y=sin(cosx)

解：“y=sin(cosx)”可看成是外层函数为“u=sinv”，内层函数为“v=cosx”的复合函数。

因为u'=(sinv)'=cosv，v'=(cosx)'=-sinx，所以y=sin(cosx)的导数

y'=u'(v)v'(x)=(sinv)'(cosx)'=cosv(-sinx)

=-sinxcosv=-sinxcos(cosx)

2、y=cos(sinx)

解：“y=cos(sinx)”可看成是外层函数为“u=cosv”，内层函数为“v=sinx”的复合函数。

因为u'=(cosv)'=-sinv，v'=(sinx)'=cosx，所以y=cos(sinx)的导数

y'=u'(v)v'(x)=(cosv)'(sinx)'=-sinv(cosx)=-cosxsinv=-cosxsin(sinx)。