罗尔定理的证明

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

1罗尔定理的证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

2罗尔定理是什么

罗尔定理一般指罗尔中值定理。

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明了：由于函数f（x）在闭区间[a，b]内是连续的，因此存在极大值和极小值，分别用M和M表示

1如果M=M，那么函数f（x）必须是闭区间[a，b]中的常数函数。结论显然是正确的。

2如果M>；M，那么因为f（a）=f（b），在（a，b）的某个ξ点上至少得到最大值M和最小值M中的一个，所以ξ是f（x）的极值点，如果f（x）可以在开区间（a，b）中导出，并且f（x）可以在ξ点上得到极值点，那么通过费马引理，可导极值点必须是a并推导出F'；（ξ）=0。

另一个证明：如果M>；M，设f（ξ）=M，ξ∈（a，b），从可微条件f'；（ξ+）<；=0，f'；（ξ-）>；=0，从极限存在定理看，左极限和右极限都是0。