数列所有公式

1.等差数列：an=a1+(n-1)d=Sn-S(n-1)(n≥2)=kn+b

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

an=am+(n-m)d

2.等比数列：an=a1q^(n-1)=Sn-S(n-1)(n≥2)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) (q≠1) 或q=1,Sn=na1

an=amq^(n-m)

一、 等差数列求和

1. 和=中间数x项数

等差数列的和=中项×项数

2. 和=(首项+末项) x项数÷2

等差数列的和=(首项+末项) x项数÷2

3. 连续自然数求和

相邻自然数之间的差值为1，所以，连续自然数实际也属于等差数列。

故：1+2+3+4+……+n = n(n+1)/2

4. 金字塔数列

1+2+3+……+ (n-1) +n + (n-1) + …… + 3 + 2 + 1 = n×n

实质可以根据上面连续自然数求和的公式推导出来，如下：

1+2+3+……+ (n-1) +n + (n-1) + …… + 3 + 2 + 1

= [1+2+3+……+ (n-1) +n] + [ (n-1) + …… + 3 + 2 + 1 ]

= n(n+1)/2 + (n-1)n/2 = n×n

也可以采用配对法求出来，如下：

1+2+3+……+ (n-1) +n + (n-1) + …… + 3 + 2 + 1

= 1 + 2 + 3+…… + (n-1) + n +

(n-1) + …… + 3 + 2 +1 为了便于大家理解我们特意分两行上下对齐

= n + n + n + …… +n 共n个n

用数形结合的方法，实质就是一个等腰直角三角形

如下图所示，假设下图中每个小长方形的宽均为1，则高分别为1到n再到1。最中间的小矩形高为n。在底边上从最左边到中间宽为n，从最右边到最中间，宽也为n，所以底边宽为2n，高为n，则三角形面积为2n×n÷2=n×n。

数形结合求金字塔数列的和

5. 连续奇数求和

1+3+5+7+..+(2n-1) = n×n

6. 连续偶数求和

2+4+6+8+..+2n= (n+1)×n = n×n + n

二、 等比数列求和( 错位相减法)

等比数列求和之错位相减法

三、 其它特殊数列求和公式

例如连续自然数的平方和和立方和公式，如下：

答此题笼统了数列有很多中学阶段主要学习两种数列:一，等差数列，1，αn=α1+(n一1)d。

2，Sn=(α1+αn)d/2。

二，等比数列:1，αn=α1q^(n一1)。

2，S=α1(1一q^(n一1))/(1一q)。

数列（sequence of number）是以正整数集为定义域的函数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列、三角函数、卡特兰数、杨辉三角等。

分类：

（1）有穷数列和无穷数列：

项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）；

项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；

2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；

3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）；

（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；

（4）常数数列：各项相等的数列叫做常数数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

4公式：

（1）通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如。数列通项公式的特点：1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。