二次函数图象与X轴交点的规律

二次函数与一元二次方程相对应，若一元二次方程有两个不等的实数根，则对应的二次函数与x轴有两个交点，若一元二次方程有相等的实数根则对应的二次函数与X轴有一个交点，若一元二次方程无实数根，则对应的二次函数与x轴没有交点

二次函数y＝ax²＋bx＋c图像与X轴两交点(x1，0) (x2，0)

x1、x2是y＝ax²＋bx＋c的两根

y＝ax²＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)

1、二次函数的定义：

形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。

二次函数在中学数学中的地位十分重要，起着承上启下的桥梁作用。

二次三项式可以看作带有自变量的二次函数的表达式；我们上学期学过的解一元二次方程实际上就是当二次函数的值为零时，求自变量x的值；解一元二次不等式就是研究二次函数在定义域内的正值区间和负值区间问题。

这四个"二次"互相渗透，二次函数起了主导作用。

2、二次函数的表达式：

对于一个二次函数，一般有三种表达式：

①一般式：y=ax^2+bx+c（a≠0）；

②顶点式：y=a（x-h）^2+k（a≠0），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；

③交点式：y=（x-x1）（x-x2），其中x1，x2为二次函数图像与x轴交点的横坐标。

3、二次函数的图像与性质：

①二次函数的图像是抛物线，顶点坐标是[-b/2a，（4ac-b^2）/4a]，对称轴是直线x=-b/2a，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时抛物线开口向下。

②当a>0且x=-b/2a时，二次函数有最小值y=（4ac-b^2）/4a；

当a<0且x=-b/2a时，二次函数有最大值y=（4ac-b^2）/4a。

③若a>0，则当x≤-b/2a时，y随x增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x增大而增大。

若a<0，则当x≤-b/2a时，y随x增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x增大而减小。

④抛物线与x轴的交点个数由△=b^2-4ac的符号确定。

I、△>0时，抛物线与x轴有两个交点；

IⅠ、△=0时，抛物线与x轴有一个交点；

lll、△<0时，抛物线与x轴没有交点。

※二次函数图象对称轴：a、b异号（ab<0）时，对称轴在y轴右侧；a、b同号（ab>0）时，对称轴在y轴左侧；b=0时，对称轴为y轴。

二次函数顶点坐标：由二次函数一般式经过配方得到，坐标为[-b/2a，（4ac-b^2）/4a]，横坐标为对称轴，纵坐标为该函数的最大或最小值。

二次函数与y轴交点坐标由c来确定。

※△二次函数图像象限的确定

当a>0且b>0时：

①若c>0，△>0时，二次函数图像经过一二三象限；

②若c>0，△<0时，二次函数图像经过一二象限；

③若c<0，△>0时，二次函数图像经过一二三四象限；

当a>0且b<0时：

①若c>0，△>0时，二次函数图像经过一二四象限；

②若c>0，△<0时，二次函数图像经过一二象限；

③若c<0，△>0时，二次函数图像经过一二三四象限；

当a<0且b<0时：

①若c>0，△>0时，二次函数图像经过一二三四象限；

②若c<0，△>0时，二次函数图像经过二三四象限；

③若c<0，△<0时，二次函数图像经过三四象限；

当a<0且b>0时：

①若c>0，△>0时，二次函数图像经过一二三四象限；

②若c<0，△>0时，二次函数图像经过一三四象限；

③若c<0，△<0时，二次函数图像经过三四象限。

二次函数y=a（x-h）^2+k（a≠0）的平移规律

①h>0，k>0时，函数图像由y=ax^2向右平移h个单位，向上平移k个单位；

②h<0，k<0时，函数图像向左平移丨h丨个单位，向下平移丨k丨个单位。