初中二次函数基础知识

初中数学中，二次函数是比较难的，首先明确定义，然后会画函数图像，根据函数图像了解函数性质，对于二次函数y=ax^2+bx+c它的对称轴是y=-b/2a，A大于零时抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小对称轴右侧y随x增大而增大.A小于零时抛物线开口方向向下增减性和a大于零时相反，开口向上的抛物线函数有最小值，开口向下的抛物线函数有最大值及抛物线的顶点，坐标为函数的极值.

一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）

a决定开口方向

当a＜0时开口向下

a＞0时开口向上；

b决定经不经过原点,如果经过原点,b=0；

c是截距,就是交与y轴的交点（0,c）.

顶点坐标公式法是（-b/2a,(4ac-b²)/4a).对称轴是直线-b/2a.
顶点式：y=a（x+m)²+k(a≠0)
两根式：y=a(x-x1）（x-x2)(a≠0)
综上所述,与y轴的交点就是把x=0代入；

与x轴的交点就是把y=0代入,

Δ＞0时有2个交点；

Δ=0时有一个交点；

Δ＜0时没有交点.

1二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

2抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

3用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).