函数对称性的4个常用结论推导

1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；

2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称)，则\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；

3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，反之亦成立；

4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a，b)\)对称，则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。

抽象函数的性质的验证

5、若函数\(f(x)\)是偶函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=2a(a>0)\)；

6、若函数\(f(x)\)是奇函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=4a(a>0)\)；

7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)和\(x=b\)对称，则\(T=2|a-b|\)；

8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)和点\(N(b，0)\)对称，则\(T=2|a-b|\)；

9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b，0)\)对称，则\(T=4|a-b|\)；

两个函数对称

以下结论涉及到两个不同的函数，可以用相关点法证明；

1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a，b)\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于点\((a，b)\)的对称点\((2a-x_0，2b-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=0\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=m\)对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；

函数的对称性常用结论为：函数的对称性是如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

对称变换：

1、函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x)。

   关于x轴对称的图像为y=-f(x)；关于原点对称的图像为y=-f(-x)。

2、函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x)；

   关于y=b对称的图像为y=2b-f(x)；

   关于点（a，b）中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。