什么是可逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

注：E为单位矩阵。

二、定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E.

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

三、性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

矩阵可逆是指一个矩阵拥有对应逆矩阵的情况。

在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E（或AB=E、BA=E任满足一个），其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。

若方阵A的逆阵存在，则称A为非奇异方阵或可逆方阵。

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E；

A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

A的特征值全不为0；

A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；

A等价于n阶单位矩阵；

A可表示成初等矩阵的乘积；

齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；

A的行（列）向量组线性无关；

任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

其实以上条件全部是等价的。