微分方程的解法

解微分方程的方法有符号解法、数值解法，微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式，解微分方程就是找出未知函数，微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度v = d x d t v=\frac{dx}{dt}v=

dt

dx

，即每一时刻距离的变化；而加速度a = d v d t a=\frac{dv}{dt}a=

dt

dv

，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如：y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+qy

′

(x)=py+q。

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如：∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)

∂t

∂T

(x,y,t)=

∂x

2

∂

2

T

(x,y,t)+

∂y

2

∂

2

T

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程