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二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时,“假定”其它变量为“常数”。换句话说,对变量求偏导的先后次序,并不影响最终的求偏导结果。
不失一般性,设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数,我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。
设u=x²y,v=xy²,则 ∂u/∂x=2xy,∂u/∂y=x²;∂v/∂x=y²,∂v/∂y=2xy。故有
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)
∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y
=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)
=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)
∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x
=2x(∂f/∂u)+x²(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+2y(∂f/∂v)+2xy(∂²f/∂v²)(∂v/∂x)
=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)
=∂²z/∂x∂y
显然,∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x,因此求二阶偏导时,与自变量的先后次序无关。
7小时前
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