微分方程有三个解的通解公式

特征方程为s^2-4=0, s=2,s=-2，所以通解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)

设特解为ke^x，则y''=ke^x, y''-4y=(k-4)e^x, k=5

所以解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)+5e^x

非齐次的特解

设y*=e^(-x)(acosx+bsinx)

y*'=-e^(-x)(acosx+bsinx)+e^(-x)(-asinx+bcosx)

=e^(-x)(-acosx+bcosx-bsinx-asinx)

=e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]

y*''=-e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]+e^(-x)[(a-b)sinx-(a+b)cosx]

=e^(-x)(-2acosx-2bsinx)

二阶微分方程的3种通解公式如下：

第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）＋C2e^（r2x）。

第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。

第三种：一对共轭复根：r1=α＋iβ，r2=α－iβ：y=e^（αx）＊（C1cosβx+C2sinβx）。

举例说明

求微分方程2y''+y'-y=0的通解。

先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解，特征方程为2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x，则y*'=y*''=Ae^x，代入原方程得，2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x。

所以原方程的通解为y=Y+y*，即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x。