如何证明一个矩阵可逆

N阶方阵A为可逆的，重要条件是它的行列式不等于0，一般只要看它的行列式就可以啦。 矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关。 行列式不为0，首先这个条件显然是必要的。其次当行列式不为0的时候，可以直接构造出逆矩阵，于是充分。 具体构造方法每本书上都有，大体上是用行列式按行列展开定理，即对矩阵A，元素写为a_ij，则sigma(j)a_ij*M_kj=detA*delta_ik，其中M_ij为代数余子式，于是B_ij=M_ji/detA即为A的逆矩阵。 在线性代数中，给定一个 阶 方阵 ，若存在一 阶方阵使得 = = 或 = 、 = 任满足一个，其中 为 阶单位矩阵，则称 是可逆的，且 是 的逆阵，记作 ^-1。

证明一个矩阵可逆的方法有5种：

1、看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆。

2、看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆。

3、定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵。

4、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。

5、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

矩阵的秩一般有2种方式定义：
1、用向量组的秩定义。矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩。

2、用非零子式定义。矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶。

单纯计算矩阵的秩时，可用初等行变换把矩阵化成梯形。梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩。