反常积分敛散性判别法总结

1、比较判别法

2、Cauchy判别法

3、Dirichlet判别法

          反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限：

        当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；

对第二类无界函数：

        当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于。

主要有三类方法：直接计算法 ，比较判敛法的极限形式 ，极限审敛法。

直接计算法即通过直接计算反常积分来判断敛散性。若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。

比较判别法的普通形式较为简单，接下来给大家归纳一下比较判别法的极限形式。

A.无穷限反常积分

对于无穷限反常积分 ，其中 在[a,+∞)上连续，且非负。

若 ，则：当l=0时， 收敛，则 收敛（大收小必收）。当l=+∞时， 发散，则 发散（小发大必发）

0<l<+∞时， 具有相同敛散性。

B.无界函数的反常积分（瑕积分）

对于瑕积分 ,其中a为瑕点， 在(a,b]上连续，且非负。当l=0时， 且 收敛，则 收敛。当l=+∞时，且 发散，则 发散。

0<l<+∞时， ， 具有相同敛散性。