二阶线性齐次微分方程通解求法

求特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数；

则y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2为实数，则y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi为复数，则y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)

二阶线性微分方程的一般形式为

　　ay"+by'+cy=f(x)

　　[其中系数a,b,c及f(x)分别是常数和自变量x的函数。]

　　函数f(x)称为函数的自由项。

　　若f(x)≡0,则

　　ay"+by'+cy=0

　　称为二阶线性齐次微分方程；

　　若f(x)≠0,则

　　ay"+by'+cy=f(x)

　　称为二阶线性非齐次微分方程。

微分方程大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

先求齐次解y''+y'-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测y=ax^2+bx+cy'=2ax+by''=2a2a+2ax+b-2(ax^2+bx+c)=x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2,b=-1/2,c=-3/4y=Ae^(2x)+Be^(-x)-(1/2)x^2-(1/2)x-3/4