平面的一般方程求法

平面的一般方程是 $Ax+By+Cz+D=0$，其中 $A,B,C$ 是平面的法向量的 $x,y,z$ 分量，$D$ 是平面到原点的距离。

可以通过已知的三点坐标 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$ 来求解平面的一般方程。首先需要求出两个向量 $\vec{v_1}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ 和 $\vec{v_2}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$，然后通过叉积求出平面的法向量 $\vec{n}=\vec{v_1} \times \vec{v_2}$，最后可以根据法向量和一个点的坐标来求解平面的距离 $D$，即 $D=-\vec{n}\cdot\vec{r}$，其中 $\vec{r}=(x_1,y_1,z_1)$。将 $A,B,C,D$ 代入一般方程即可得到平面的方程。

需要注意的是，如果 $\vec{v_1}$ 和 $\vec{v_2}$ 在同一条直线上或者其中一个向量为零向量，则无法使用上述方法求解平面的一般方程。

只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。

（1）即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为 

 =(-b,a)或(b,-a)；

（2）若直线l的斜率为k,则l的一个方向向量为 

 =(1,k)；

（3）若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB所在直线的一个方向向量为 

 =(x2-x1,y2-y1)。

Ax+By+Cz+D=0。平面方程是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程。方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”

形如下图中的平面方程，

具体求平面方程的方法如下：

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，若D不等于0，取a=-D/A，b=-D/B，c=-D/C，则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。它与三坐标轴的交点分别为P(a，0，0)，Q(0，b，0)，R(0，0，c)，其中，a，b，c依次称为该平面在x，y，z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A，B，C)，M，M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0，MM'=(x-x0，y-y0，z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。

三、一般式

Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C，D为已知常数，并且A，B，C不同时为零。