单子是什么意思

（这是关于《范畴论》一系列回答的第十篇，紧接在问题：”极限的含义？“ 之后，小石头将在本篇中与大家一起讨论单子。）

单子（monad）的哲学解释大家可以参考莱布尼兹的《单子论》，这里仅仅讨论数学中的单子。

在引入单子概念之前，我们先做一些准备。

首先，让我们复习一下以前介绍过的各种复合操作：

态射 f: A → B, g: B → C 的复合还是态射：

gf: A → C

具体定义由各个范畴结合态射的定义给出；

函子 F: A → B, G: B → C 的复合还是函子：

GF: A → C

定义为：

GF(f) = G(F(f)), GF(A) = G(F(A))

自然变换 α: F → G, β: G → U （F, G, U: A → B, α, β: ObA → MorB） 的复合还是自然变换：

β∘α: F → U（β∘α: ObA → MorB）

定义为：

β∘α(A) = β(A)α(A)

考虑到，自然变换复合定义的特殊性，尤其是与其他复合联用时，我们一般不省略 自然变换 之间的 复合 符号。

自然变换 α: F → G（F, G: A → B，α: ObA → MorB）与 函子 U: B → C 的复合是自然变换：

Uα: UF → UG（Uα: ObA → MorC）

定义为：

Uα(A) = U(α(A))

函子 F: A → B 与 自然自然变换 α: G → U（G, U: B → C，α: ObB → MorC） 的复合是自然变换：

αF: GF → UF（αF: ObA → MorC）

定义为：

αF(A) = α(F(A))

自然变换 α: F → G, β: U → V （F, G: A → B, α: ObA → MorB, U, V: B → C, β: ObA → MorB） 的星乘还是自然变换：

β∗α: UF → VG（β∗α: ObA → MorC）

定义为：

β∗α = βG∘Uα = Vα∘βF

Uα: UF → UG, βG: UG → VG, βG∘Uα: UF → VG; βF: UF → VF, Vα: VF → VG, Vα∘βF: UF → VG.

然后，对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，回忆，伴随 F ⊣ B 的前3种定义：

自然变换 η: 1ᴀ → UF（称为 单位），对于每个 A ∈ObA， η(A) 都是 A 到 U 的 泛映射；

如果 对于任意 A ∈ObA, B ∈ObB，都存在 自然双射 φ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψ (称为 附属形式)；

自然变换 ε: FU → 1ʙ （称为 余单位），对于每个 B ∈ObB， ε(B) 都是 B 到 F 的 余泛映射；

以及， 第 1，3 种定义 分别 和 第2种定义 之间的关系：

η(A) = φ(1ғ₍ᴀ₎) ，f = φ(g) = U(g)η(A)；

ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)，g = ψ(f) = ε(B)F(f)；

接下来，我们研究 第 1，3 种定义 之间的关系。

根据 A 的任意性，可令，

A = U(B)

则，F(A) = FU(B)。又，令，

f = 1ᴜ₍ʙ₎

则，

g = ψ(f) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)

再根据前面的关系：ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎) 有，

g = ε(B)

将以上结果，带入前面的关系：f = φ(g) = U(g)η(A) 得到 ①：

1ᴜ₍ʙ₎ = f = φ(g) = U(ε(B))η(U(B))

即，

1ᴜ = Uε∘ηU

同理，令 B = F(A)，g = 1ғ₍ᴀ₎，根据前面的关系，最终，可得到 ②：

1ғ = εF∘Fη

结果 ① 和 ② 就是 第 1，3 种定义 之间的关系，绘制成交换图如下：

我们，称 ① 和 ② 为三角恒等式。

三角恒等式 可以作为，伴随的第 4 种定义的条件，即，

对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，如果，存在自然变换 η: 1ᴀ → UF 和 ε: FU → 1B 并且满足 三角恒等式，则 F 和 U 伴随。

上面已经从 前 3 种定义 推出了 定义4，现在只要从 定义4 推导出 定义2，就可以 证明 这些定义的 等价性了。我们，令：

φ(g: F(A)→B ) = U(g)η(A)；

ψ(f: A → U(B) ) = ε(B)F(f)；

则有，

φ(ψ(f)) = φ(ε(B)F(f)) = U(ε(B)F(f))η(A) = U(ε(B)) U(F(f))η(A) ∵ η 的自然性

∴ = U(ε(B)) η(U(B)) f ∵ 三角恒等式 ①

∴ = 1ᴜ₍ʙ₎ f = f

ψ(φ(g)) = ψ(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)) F(η(A)) ∵ ε 的自然性

∴ = gε(F(A)) F(η(A)) ∵ 三角恒等式 ②

∴ = g 1ғ₍ᴀ₎ = g

于是，就是证明了 φ 和 ψ 是互逆的双射。关于φ 和 ψ 的自然性 也很容易验证（留给大家思考），这样以来我们就推出了定义2。

有了以上准备，接下来我们开始引入单子的概念。

单子

在上面的伴随中，我们以 范畴 A 为焦点， 如果，令 T = UF：A → A，1 = 1ᴀ ，则 伴随的单位，可记为：

η: 1 → T

再考虑 余单位 ε: FU → 1ʙ，我们分别在ε左右复合U和F，可得到：

UεF: UFUF → U1ʙF

而，

UFUF = TT = T² , U1ʙF = UF，

于是，令 μ = UεF，则有 自然变换：

μ: T² → T

令 B = F(A) 为参数，带入 三角恒等 1ᴜ₍ʙ₎ = Uε(B)∘ηU(B) 得到：

1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘ηUF(A)

1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘ηT(A)

即，

1 = μ∘ηT

对 三角很等式 1ғ₍ᴀ₎ = εF(A)∘Fη(A) 两边应用 函子 U，有：

U(1ғ₍ᴀ₎) = U(εF(A)∘Fη(A))

由于，函子将幺态射映射到幺态射，所以，

等式左边 = 1ᴜғ₍ᴀ₎

根据，函子的保持复合性，知 ，

等式右边 = UεF(A)∘UFη(A)

等式两边关联的就得到：

1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘UFη(A)

1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘Tη(A)

即，

1 = μ∘Tη

将上面的得到的结果绘制成交换图Ⅰ，如下 ：

另一方面，考虑 B 中的 任意 态射 f: X → Y, 根据 自然变换 ε: FU → 1ʙ 的自然性，有如下交换图：

令，X = FU(Y)，则有：

这时我们发现 f, ε(Y) 同时属于 Hom(FU(Y), Y)，于是 可以令 f = ε(Y)，则有：

又令，Y = F(A)，则有：

再对上图应用 函子 U ，将其从范畴 B 映射 到 范畴 A，有：

将 图中 表达式 改写成 T 和 μ 和形式， 最后 得到 如下交换图Ⅱ：

对应关系式为：

μ∘μT = μ∘Tμ

综上，我们就从 伴随函子 F: A ⇄ B: U 得到了：

定义在 范畴 A 上的 函子 T: A → A ，以及两个 使得 图 Ⅰ 和 Ⅱ 可交换 的 自然变换 η: 1 → T 和 μ: T² → T ，我们 称 T（以及 η 和 μ） 为 单子。

Eilenberg-Moore 范畴

以上，是从 伴随 F: A ⇄ B: U 得到了 A 上的 单子 T，反过来 从 单子 T: A → A 也可以 构造 伴随 F: A ⇄ B: U，这件事 最早 是 由 Eilenberg 和 Moore 通过构造 Eilenberg-Moore 范畴，来实现的。

关于 范畴 A 的 Eilenberg-Moore 范畴，记为： Aᵀ。

Aᵀ 对象 是 由 A 中任意对象 A 和 映射 h: T(A) → A 组成的 序对 (A, h)，并且要求满足条件：

1ᴀ = h∘η(A)

h∘μ(A) = h∘T(h)

即，使得下二图可交换：

我们称 (A, h) 为 T-代数，A 称为 代数的 底对象，h 称为 代数的 构造映射，条件1（上面左图）称为 代数的 单位律，条件2（上面右图）称为 代数的 结合律。

Aᵀ 中的态射 与 A 保持一致，即 ㈠，

f: (A, h) → (A', h') 当且仅当 f: A → A'

进而 A 中的 态射的 复合 也就 无缝迁移到了 Aᵀ。

由 T-代数 组成 的 范畴 Aᵀ ，就是 我们要构造 的 伴随 F: A ⇄ B: U 中的 B。

函子 U: Aᵀ → A 很自然的可以定义为：

U(A, h) = A, U(f) = f

接着，观察 单子 的 换图 Ⅰ和 Ⅱ 中的关系式：

1(A) = μ(A)∘ηT(A)

μ(A)∘μT(A) = μ(A)∘Tμ(A)

如果 令, h = μ(A)，Ã = T(A)，则改写为：

1ᴀ = h∘η(Ã)

h∘μ(Ã) = h∘T(h)

刚好满足 T-代数 的 单位律 和 结合律，于是 (Ã, h) 是 Aᵀ 的对象，所以 我们可以定义 函子 F: A → Aᵀ 为：

F(A) = (T(A), μ(A)), F(f) = T(f)

显然，有：

UF(A) = U(T(A), μ(A)) = T(A)

即，

UF = T

于是，η 可记为：

η: 1ᴀ → UF

再考虑，自然变换 ε: FU → 1ᴀᵀ，有：

ε(A, h): FU(A, h) → (A, h)

因为 FU(A, h) = F(A) = (T(A), μ(A)) ，所以：

ε(A, h): (T(A), μ(A)) → (A, h)

又根据 上面 ㈠ 处 Aᵀ 的规定，有：

ε(A, h): T(A) → A

而，恰恰有：

h: T(A) → A

所以，我们可以定义 ε 如下：

ε(A, h) = h

到此为止我们就定义出来了 函子 F :A ⇄ Aᵀ : U 和 自然变换 η: 1ᴀ → UF 与 ε: FU → 1ᴀᵀ，根据这些定义，对于 任意 A ∈ ObA， 结合 单子的图Ⅰ交互性， 有：

εF(A)∘Fη(A) = ε(T(A), μ(A))∘F(η(A)) = μ(A)∘Tη(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎ = 1ᴜ₍ғ₍ᴀ₎₎ = U(1ғ₍ᴀ₎) = 1ғ₍ᴀ₎

对于 任意 (A, h) ∈ ObAᵀ ，应用 T-代数 的 单位律，有：

Uε(A, h)∘ηU(A, h) = U(h)∘η(A) = h∘η(A) = 1ᴀ = U(1ᴀ) = 1ᴜ₍ᴀ₎

这样就验证了 “三角恒等式” 成立 ，故，F 和 U 就是 我们要构造的 伴随。

闭包

最后，我们举一个单子的实际例子，以加深对其的理解。

回忆前面的 偏序范畴 Poset，其态射 就是 偏序关系：

A → B iff A ≤ B

态射的复合，就是 偏序的传递性：

A ≤ B ∘ B ≤ C = A ≤ C

设，T: Poset → Poset 是 Poset 上的 单子 ，则，首先 T 是函子，于是有：

T(A ≤ B) = T(A) ≤ T(B)

故，T 是单调递增的。

要使得 η: 1 → T 存在，则，

η(A): A ≤ T(A)

就必须存在，故，显然 T 是 上升的。

要使得 μ: T² → T，存在，则，

μ(A): T²(A) ≤ T(A)

就必须存在，而，又有：

T(A ≤ T(A)) = T(A) ≤ T²(A)

故，只能是：

T²(A) = T(A)

当然，也是，

T(A) = T²(A) = T³(A) = ...

我们，称 这样的 T 为 闭包，一般记为 Ā = T(A)。

可以验证，闭包 满足 单子的要求：

μ(A)∘ηT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =

μ(A)∘Tη(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A ≤ T(A)) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =

T²(A) ≤ T²(A) = T(A) ≤ T(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎

μ(A)∘μT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T³(A) ≤ T²(A) = μ(A)∘Tμ(A)

故，闭包的确是单子。

闭包和单子是函数式编程中很重要的两个概念，由于本系列回答限制于数学的角度，因此不会涉及计算机语言的内容，以后有机会再和大家一起讨论《范畴论》在计算机语言中的应用。

好了，这篇回答就先到这里，关于单子还有许多内容，我们下一篇回答再继续讨论！

（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎批评指正，同时感谢大家阅读！）