如何求反函数的导数

反函数的导数可以通过先求原函数的导数，然后再应用复合函数的链式法则来得到。以下是一个简单的步骤说明：

1. 求原函数的导数：假设原函数为f(x)，我们需要求解f'(x)。

2. 寻找原函数与反函数之间的关系：假设反函数为f^(-1)(x)，我们要找出f^(-1)(x)与f(x)之间的关系。可以通过解析或者数值方法得到一个表示这种关系的公式，例如：

   f(x) = ∫e^xdx （这里假设原函数是指数函数）

   f^(-1)(x) = e^(∫e^xdx) （这里假设反函数是指数函数）

   通过这个公式，我们可以将f(x)和f^(-1)(x)联系起来。

3. 应用复合函数的链式法则：现在，我们可以通过链式法则来求解f^(-1)(x)的导数。链式法则告诉我们：

   f^(-1)(x) = f^(-1)(y) * dy^(-1) / dx^(-1)

   其中，y = f(x)。因此，

   f^(-1)'(x) = f^(-1)(y) * dy^(-1) / dx^(-1) = f^(-1)'(y) * (dy^(-1)/dx)^(-1)

   其中，f^(-1)'(y) = f'(y) * (dy/dx) = f'(x)。

   因此，f^(-1)'(x) = f'(x)。

注意：这个过程的前提是假设反函数存在且与原函数具有相同的函数定义域。如果反函数不存在，则无法求解

先求出原函数的反函数，再对反正数求导就可以了，例如：求函数y＝3x的反函数的导数，解：由y＝3x，得x＝y／3，所以函数y＝3x的反函数为y＝x／3，则（x／3）＇＝1／3，即函数y＝3x的反函数的导数是1／3

反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例如：原函数是 x = sin y
则：反函数为 y = arcsin x
反函数的导数为：（arcsin x)'=1/x' or 1/(sin y)'.

y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）

反函数的导数：

y=arcsinx,

那么，siny=x,

求导得到，cosy *y'=1

即 y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)

扩展资料：

引用的常用公式

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

⒈(链式法则)y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x）中把x看作变量』

2. y=u*v,y'=u'v+uv'(一般的leibniz公式)

3.y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2，事实上4.可由3.直接推得

4.（反函数求导法则）y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

反函数的导数公式为：如果函数y=f(x)存在反函数x=φ(y)，且在某一点y处f'(x)≠0，则反函数在该点y处可导，且其导数为1

[反函数条件: f(x) 可导,且 f′(x)≠0 ,则存在反函数 x=φ(y)。]

反函数的导数等于直接函数导数的倒数，即2

[反函数的导数等于直接函数导数的倒数。]

特殊情况下，当函数f(x)为单调递减函数时，可以使用反函数求导公式dz/dx=-f’(g(x))*g’(x)进行求导