一维实值随机变量特征函数的定义

对于实数t，特征函数φ(t)定义为：

φ(t) = E(e^(itX)) = ∫(-∞ to ∞) e^(itx)f(x) dx

其中，E代表数学期望，t为实数，i为虚数单位，f(x)为随机变量X的概率密度函数，而积分则是从负无穷到正无穷的整个实数范围的积分。

特征函数是t的复值函数，它能够完整地描述实值随机变量的统计特性。

特征函数和分布函数是一一对应的，用分布函数求卷积会很麻烦，用特征函数求就会简单一点，而且在求独立随机变量的和的分布的时候，用特征函数也要容易一些。特征函数：在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。

在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。

用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。

与矩母函数不同，特征函数总是存在。特征函数具有以下基本性质：如果两个随机变量和具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。在求两个或多个随机变量和的分布时,需要用到卷积公式.如果要求个相互独立的随机变量和的分布时,就要算次卷积,这是一件比较麻烦的事情.经过不断地探索和研究,终于发现特征函数这个工具,它在解决个独立随机变量和的分布时,显得锐利有力. 设是一个随机变量,称是的特征函数.对任意的总有,所以总是存在的.也就是说,对于任一随机变量,它的特征函数一定存在. 1.对于离散型随机变量,它的特征函数2.对于连续型随机变量,它的特征函数