余数的三大性质

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，

称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为:a?b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。