常用对数公式

以下是我的回答，常用对数公式包括对数换底公式、对数恒等式、对数的性质和运算法则等。其中，对数换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，对数恒等式是log_b(a^n) = n * log_b(a)，log_b(1/a) = -log_b(a)，log_b(a^1/n) = log_b(a) / n等。

性质

①loga(1)=0；

②loga(a)=1；

③负数与零无对数.

2对数恒等式

a^logaN=N (a>0 ，a≠1）

3运算法则

①loga(MN)=logaM+logaN；

②loga(M/N)=logaM－logaN；

③对logaM中M的n次方有=nlogaM；

如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导：

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4、与（2）类似处理

M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

4换底公式

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

5推导公式

log(1/a)(1/b)=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

6求导数

(xlogax)'=logax+lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x