柯西中值定理

　　如果函数 f(x) 及 g(x) 满足

　　在闭区间 [a,b] 上连续；

　　在开区间 (a,b) 内可导，

　　对任意

，

　　那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式

成立。

　　其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

柯西中值定理的证明

　　首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点

使得 g'(x0) = 0，与条件3矛盾。所以

 。

　　令

。那么

　　 h 在 [a,b] 上连续，

　　 h 在 (a,b) 上可导，

 。

　　由罗尔定理，存在一点

使得 h'(ξ) = 0。即

。命题得证。

成立。
因为是微积分学中的一个重要定理，该定理告诉我们的是如果两个变量在一个区间内满足一些限制条件，那么一定存在一个中间点，使得这两个变量在该点处的导数相等。
这个定理有很多应用，比如可以用来证明函数的连续性、求解微分方程等。
此外，还有一些变形形式，比如拉格朗日中值定理、罗尔中值定理等，这些定理可以帮助我们更好地理解函数的性质和解决一些数学难题。

成立。
因为该定理是数学分析中的重要定理之一，它描述了连续函数在某个区间上的平均变化率与两端点的变化率相等，从而在一定程度上探究了函数的连续性和导数的存在性，具有广泛的应用。
例如，在微积分中，是求解不定积分和确定导数连续性等问题的基本工具；在工程领域，它被用于分析变化率的性质，以及优化问题中的最优点等问题。
因此，成立，对于学习数学分析以及其相关应用领域都具有重要的意义。