切割线定理和例题解题技巧

切割线定理：过圆外一点做圆的切线和一条割线。割线与圆交于两点。这两点与圆外一点组成的线段的积等于切线长的平方。解题技巧就是求线段的长度就可以用这个定理，也就是构造两个相似三角形，都是它的解题方法。

（一） 相交弦定理

圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图 1（1）， 在⊙ O 中，AB、CD 相交于点 P，则 PA·PB＝PC·PD。

（二） 割线定理

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图 1（3）， 有 PA·PB＝PC·PD。

（三） 切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图1（4），有PA=PC·PD

当点 P 从圆内运动到圆上、圆外时（从图 1（1）到图 1（3））， 总有 PA·PB＝PC·PD，图 1（2）中，点 B、D 与点 P 重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD 同样成立。

当割线 PBA 绕着点 P 旋转到切线 PA 的位置时，点 B 与 A 重合，结论不变，仍有 PA·PB

＝PC·PD，此时PA=PB，所以PA=PC·PD

当割线 PDC 也变为切线 PC 时，总有 PA·PB＝PC·PD，因为 PC＝PD，PA＝PB，所以PA=PC，即PA＝PC，此为切线长定理。

当图 1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，

根据相交弦定理，同样有 PA·PB＝PC·PD 又根据垂径定理， 2＝PC·PD。当图 1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有 PA·PB＝PC·PD 又根据垂径定理，有PA=PB，所以PA ＝PC·PD。

1.圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。

4.割线长定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。