切点弦公式推导

切点弦公式是指圆上一点P到圆外一条割线AB所对应的割弦CD的长度等于切线CP与线段BP的积，即CD = CP × BP。
这个公式可以用来计算圆上的弦长或切线长度。
这个公式的推导可以通过利用相似三角形以及勾股定理来得出。
具体而言，我们可以先设圆心为O，切点为P，相应的角度为θ，则有切线CP与直线OP相互垂直，即CP × OP = r² （r为圆的半径），又因为∠BPA为直角，所以有OP² + BP² = OB²，化简可得OP = √(OB² - BP²)，代入前面的式子，可得CD = r² / √(r² - BP²)。

回答如下：切点弦公式是指在一个圆上，两点A、B的弦所对应的两个弧上各取一点，连接这两个点并将其与弦的中点相连，则这条中线垂直于弦且长度相等。

设圆心为O，弦AB的中点为M，弧AM的端点为D，弧BM的端点为E，连接MD和ME，则∠AMD=∠EMB=90°，且∠AOM=∠BOM=90°（因为OA、OB分别是圆的半径），因此四边形AMED是一个矩形，即AM=ME，同理可得BM=MD。

因为AM=ME，所以AM+ME=2AM，同理可得BM+MD=2BM，因此AM+ME=BM+MD。由于AM=BM，所以ME=MD，即弦AB的中垂线ME=MD，证毕。

切点弦公式是指在圆上任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的弦AB所在直线与圆的交点C的坐标(x3,y3)的计算公式。公式为：x3 = [x1y2 + x2y1 + (y1 - y2)r^2] / [2(x1 - x2)]，y3 = [y1 + y2 + x3(x2 - x1) / (y1 - y2)] / 2，其中r是圆的半径。公式推导过程中需要运用平面几何知识和求解二元一次方程的方法。

过圆x²+y²=r²外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则过AB的直线xx0+yy0=r²，称切点弦方程。

证明：x²+y²=r²在点A，B的切线方程是xx1+yy1=r²，xx2+yy2=r²

∵点P在两切线上

∴x0x1+y0y1=r²，x0x2+y0y2=r²

此二式表明点A，B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r²，而过点A,B的直线是唯一的

∴切点弦方程是xx0+yy0=r²

说明：

切点弦方程与圆x²+y²=r²上一点T(x0，y0)的切线方程相同。

过圆(x-a)²+(y-b)²=r²外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r²。