圆锥曲线半代法

半代入法是求解曲线上某点处的切线的一种数学方法。它的原理是：假设曲线的方程为y=f(x)，若给定曲线上的一点P(x0,y0)，令y=y0+Δy，Δy为一个很小的增量，则曲线方程可以写成y=f(x0)+f'(x0)·Δx+Δy，其中f'(x0)为曲线方程在点x0处的导数。由此，可以得到Δx=(y-f(x0))/f'(x0)，即曲线上点P(x0,y0)处的切线斜率为f'(x0)，该切线的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)。

一般形式#

对于圆锥曲线 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2≠0)Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2≠0) 求关于 xx 的导数得

2Ax+By+Bxy′+2Cyy′+D+Ey′=02Ax+By+Bxy′+2Cyy′+D+Ey′=0

即 y′=−2Ax+By+DBx+2Cy+Ey′=−2Ax+By+DBx+2Cy+E

设 P(x0,y0)P(x0,y0) 是曲线上的一点，则过此点的切线斜率为 −2Ax0+By0+DBx0+2Cy0+E−2Ax0+By0+DBx0+2Cy0+E

所以切线方程为 y−y0=−2Ax0+By0+DBx0+2Cy0+E(x−x0)y−y0=−2Ax0+By0+DBx0+2Cy0+E(x−x0)

即 Bx0y+2Cyy0+Ey−Bx0y0−2Cy20−Ey0=−2Axx0−Bxy0−Dx+2Ax20+Bx0y0+Dx0Bx0y+2Cyy0+Ey−Bx0y0−2Cy02−Ey0=−2Axx0−Bxy0−Dx+2Ax02+Bx0y0+Dx0

2Axx0+Bx0y+Bxy0+2Cyy0+Dx+Ey=2Ax20+2Cy20+2Bx0y0+Dx0+Ey02Axx0+Bx0y+Bxy0+2Cyy0+Dx+Ey=2Ax02+2Cy02+2Bx0y0+Dx0+Ey0

Axx0+Bx0y+Bxy02+Cyy0+Dx2+Ey2=Ax20+Bx0y0+Cy20+Dx02+Ey02Axx0+Bx0y+Bxy02+Cyy0+Dx2+Ey2=Ax02+Bx0y0+Cy02+Dx02+Ey02

所以切线方程为 Axx0+Bx0y+xy02+Cyy0+Dx+x02+Ey+y02+F=0Axx0+Bx0y+xy02+Cyy0+Dx+x02+Ey+y02+F=0

综上，若求圆锥曲线 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 以 P(x0,y0)P(x0,y0) 为切点的切线方程