向量运算

向量的运算法则有：

1、向量的加法；

2、向量的减法；

3、数乘向量；

4、向量的数量积；

5、向量的向量积；

6、三向量的混合积。

向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方向，它的长度称为向量的模。向量常记为(a→)，(b→)或a，b等。

向量具体运算法则：

1、向量的加法：

向量的加法：

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法：

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。

向量的减法：

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')。

3、数乘向量：

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

向量的数乘：

当λ＜0时，λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律：

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

4、向量的数量积：

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π.

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的数量积的运算律：

a·b=b·a（交换律）；

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的数量积的性质：

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点：

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量积：

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量积运算律：

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

6、三向量的混合积：

向量的混合积：

定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。